7.(2021·北京高三期末)设抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,是上一点.若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据,利用抛物线的定义求得点P的坐标,然后利用两点间距离公式求解.
【详解】
设,因为,
由抛物线的定义得,
解得,
所以,
又,
所以,
故选:C
8.(2021·北京高三期末)已知双曲线的焦距等于实轴长的倍,则其渐近线的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
根据离心率,由双曲线的性质,求出,即可得出渐近线方程.
【详解】
因为双曲线的焦距等于实轴长的倍,所以双曲线的离心率为,
所以,则,即,
所以,即,
因此所求渐近线方程为:.
故选:A.
9.(2021·海原县第一中学高二期末(文))已知双曲线和椭圆有相同的焦点,则的最小值为( )
A. B. C. D.9
【答案】C
【分析】
本题首先可根据双曲线和椭圆有相同的焦点得出,然后将转化为,最后利用基本不等式即可求出最小值.
【详解】
因为双曲线和椭圆有相同的焦点,
所以,
则
,当且仅当时取等号,
故的最小值为,
故选:C.
【点睛】
关键点点睛:本题考查双曲线与椭圆焦点的相关性质的应用,双曲线有,椭圆有,考查利用基本不等式求最值,是中档题.
10.(2021·海原县第一中学高二期末(文))已知椭圆的焦点在x轴上,,是椭圆短轴的两个端点,F是椭圆的一个焦点,且,则m=( )
A. B.6 C.12 D.16
【答案】C
【分析】
根据,是椭圆短轴的两个端点,且,易得,再由求解.
【详解】
因为椭圆的焦点在x轴上,
所以,
因为,是椭圆短轴的两个端点,F是椭圆的一个焦点,且,
所以,O为原点,
所以,
解得,
所以,
故选:C
11.(2021·海原县第一中学高二期末(文))若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】
由条件可得,即可得到答案.
【详解】
方程表示焦点在y轴上的双曲线
所以 ,即
故选:B
12.(2021·北京高二期末)已知双曲线的两个焦点是、,点在双曲线上.若的离心率为,且,则( )
A.或 B.或 C.或 D.或
【答案】A
【分析】
求出的值,结合双曲线的定义可求得的值.
【详解】
在双曲线中,,,
因为双曲线的离心率为,,,
由双曲线的性质可知,由双曲线的定义可得,
解得或.
故选:A.
【点睛】
关键点点睛:在利用双曲线的定义求解问题时,需要注意以下两点:
(1)双曲线定义的集合语言:是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键,切记对所求结果进行必要的检验.
(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时,弄清点在双曲线的哪支上.
13.(2021·平罗中学高三期末(文))已知为双曲线的右焦点,以点为圆心,(为双曲线半焦距)为半径的圆与的渐近线相切,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
先写出以点为圆心,(为双曲线半焦距)为半径的圆的方程,再由该圆与渐近线相切,列出等量关系,化简整理,即可求出双曲线的离心率.
【详解】
因为为双曲线的右焦点,
则以点为圆心,(为双曲线半焦距)为半径的圆的方程为,
又双曲线的渐近线方程为,
因为圆与双曲线的渐近线相切,
所以圆心到直线的距离为,
即,整理得,所以,即,
所以离心率为.
故选:D.
【点睛】
关键点点睛:
求解本题的关键在于确定的关系;本题中根据圆与双曲线的渐近线相切,得出,再根据双曲线的性质,即可求解.
14.(2021·柳州市第二中学高二期末(文))设双曲线:(,)的渐近线方程为,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
【答案】D
【分析】
由双曲线的渐近线方程是可知,由此可以求出该双曲线的离心率.
【详解】
因为双曲线:(,)的渐近线方程为,得,
所以双曲线的离心率为,
故选:D.
15.(2021·云南昆明市·昆明一中高三月考(文))已知双曲线上存在两点M,N关于直线对称,且的中点在抛物线上,则实数m的值为( )
A.或3 B. C.3 D.
【答案】C
【分析】
设,,的中点,,坐标代入双曲线方程由点差法得到,又M,N关于直线对称,可得,
又由点在直线上,可求得,代入抛物线方程可得答案.
【详解】
设,,的中点,因为,
所以;又因为,所以;
又因为M,N关于直线对称,所以,即;
又因为点在直线上,所以;
由可得,所以,即.
故选:C.
【点睛】
方法点睛:本题考查直线与椭圆的位置关系,点对称的问题,对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称,这类问题的一般解法是利用对称性的特点,从中点和垂直两个方面考虑,设出坐标而不求坐标,与曲线弦的斜率和中点有关的问题都可以用此方法.
16.(2021·北京房山区·高二期末)已知圆,从圆上任意一点向轴作垂线段,为垂足,则线段的中点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
利用相关点法即可求解.
【详解】
设线段的中点,,
所以,解得,
又点在圆上,
则,即.
故选:A
17.(2021·北京房山区·高二期末)已知双曲线与椭圆有相同的焦点,则( )
A. B. C.2 D.4
【答案】C
【分析】
先求出椭圆焦点坐(椭圆的半焦距),再由双曲线中的关系计算出.
【详解】
椭圆的半焦距为,
∴双曲线中,∴(∵).
故选:C.
【点睛】
晚错点睛:椭圆与双曲线中都是参数,但它们的关系不相同:椭圆中,双曲线中,不能混淆.这也是易错的地方.