高三数学一些记号、概念的补充（2021届）：

　　1.导数概念

　　“当时，”,记作□□ = A

　　2.存在性命题

　　含有存在量词的命题，叫做特称命题，也称为存在性命题。

　　3.投影的概念（还是现行教材，2020届、2021届不改）

　　在 中，叫作向量在方向上（在方向上）的投影。

　　4.概率统计中几个概念表示：

　　随机变量X的均值（数学期望）表示：E（X），

　　  随机变量X的方差记为V(X)，或D(X)

　　随机变量X的标准差记为 ：或

　　独立性检验中，统计量可以表示为

　　或

　　5.利用直方图、表计算中位数、众数

　　例1 根据频率分布直方图估计众数、中位数

　　对某小区100户居民月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图如图，则估计此样本的众数、中位数分别为

　　A．2.25，2.5            B.2.25，2.02          C.2，2.5            D.2.5，2.25

　　0  0.5  1  1.5  2  2.5  3  3.5  4  4.5

　　用水量（吨）

　　0.08

　　0.16

　　0.30

　　0.44

　　0.50

　　解 由图可知，前五组的频率依次为0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，因此，前5组的频次依次为4，8，15，22，25，而以后的各组的频数均低于25，根据众数的定义，众数应该在频数最多的数，在第5组中用组中值表示该组的值，故估计此样本的众数为2.25．

　　根据中位数的定义，在样本中有50%个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数．因此，在频率直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，也即位于中位数两侧的数据的频率之和均为0.5．因为前4组的频率之和0.04+0.08+0.15+0.22=0.49<0.5，前5组的频率之和大于0.5，所以中位数应该在第5组内．

　　在直方图中，无法知道每个组内的数据是如何分布的，我们通常假设它们在组内是均匀分布的，故若设中位数为x，则

　　0.49+（x-2）´0.5=0.5，

　　解得

　　x=2.02．

　　所以，估计中位数为2.02，故选B．

　　练习

　　    一组数据的频率分布表如下

　　试估计这组数据的众数和中位数。

　　6.残差分析

　　对于数据组（xi,yi)(i=1,2,3,…,n)，如果由线性回归方程得到的对应于自变量xi的估计值是i ，那么我们将

　　yi  - i  (i=1,2,3,…，n)

　　称为相应于点（xi,yi）的残差（residual），记为i．以自变量xi或因变量yi为横坐标，对应的残差i为纵坐标作点，我们将由此所作的图形称为残差图．

　　通常情况下，残差图中的点列集中于靠近横轴的较为狭窄的区域内，且横轴上下分布比较均匀时，这种模型的拟合效果较好．

　　题目 下面给出了根据我国2012年~2018年水果人均占有量y（单位：kg）和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2012年~2018年的年份代码x分别为1~7）

　　（1）根据散点图分析y与x之间的相关关系；

　　（2）根据散点图相应数据计算得=1074,=4517，求y关于x的线性回归方程；

　　（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果。

　　解 （1）根据散点图可知，y与x具有线性相关关系，而是正相关关系。

　　（2）由所级数据计算得 = = 4 ,=28，==4517-4´1074=221,==»7.89,=-=-7.89´4»121.87，所以，所求线性回归方程为=7.89x+121.87.

　　（3）由题中所给的残差图知历年数据的残差均在-2到2之间，说明线性回归方程的拟合效果较好。

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