班级： 姓名： 编号：
扬中树人2020～2021学年第二学期高三年级数学
专题突破之：圆锥曲线中的最值、范围问题
前言：圆锥曲线中最值与范围问题是近几年考查的热点问题，本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.
一、圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法
(1)两种类型：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．
(2)两种解法
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．
二、例题分析：
1、已知椭圆C：
过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
2、如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
三、课堂巩固
过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点，
（1）若线段中点的横坐标为3，求的值；
（2）求的取值范围.
三、课后练习
1、设，是椭圆上长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.
（A） (B) (C) (D)
2、已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．9
3、已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
4、已知是圆上一动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5.已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
6.已知抛物线C：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点．设直线l与抛物线C相切，且．
求直线l的方程；若P为l上一点，求的最小值．
7. 已知离心率为的椭圆C：的一个顶点恰好是抛物线的焦点，过点且斜率为k的直线交椭圆C于A，B两点．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ求k的取值范围；Ⅲ若，A和P关于x轴对称，直线BP交x轴于N，求证：为定值．
8.抛物线：，直线的斜率为2．
（Ⅰ）若与相切，求直线的方程；
（Ⅱ）若与相交于，，线段的中垂线交于，，求的取值范围．
班级： 姓名： 编号：
扬中树人2020～2021学年第二学期高三年级数学
专题突破之：圆锥曲线中的最值、范围问题
编制人：郑全红 顾福勇 叶新红 颜俊 王方平 审核人：郑全红
前言：圆锥曲线中最值与范围问题是近几年考查的热点问题，本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.
一、圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法
(1)两种类型：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．
(2)两种解法
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．
二、小题训练
1、设，是椭圆上长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.
（A） (B) (C) (D)
解析 由题可知当为上顶点或下顶点时为最大，依题意得，
可得，即，若椭圆上恒存在一点满足，
则，即，所以，即．
故选D.
2、已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．9
【答案】A
【解析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，
令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，①
由椭圆定义，②
又∵，∴，③
，得，④
将④代入③，得，
∴，故选A．
3、已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为 。
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】解法一：由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，
设，，，，此时直线方程为，
联立，得，∴
同理得 由抛物线定义可知
当且仅当（或）时，取得等号．故答案选A
解法二：设倾斜角为．作垂直准线，垂直轴，易知
；；
又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为
而即：p=2；所以
当取等号，即最小值为16.故选A
4、已知是圆上一动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线斜率的最大值为 。
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，、的斜率都存在，分别设为，切点，，
设，过点的抛物线的切线为，联立得，因为，即；
所以，又由得，所以，，，，所以，因为点满足，所以，因此，即直线斜率的最大值为.
5.已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
由题意可设，，线段中点为，且，
可得为的重心，设，，
由重心坐标公式可得，，，
即有的中点，可得，，
由题意可得点在椭圆内，可得，
由，可得，即有.
故答案为：.
三、例题分析：
1、已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
答案：（1）；（2）18.
解答：
(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.
当y=0时，解得，所以a=4，
椭圆过点M(2，3)，可得，
解得b2=12.
所以C的方程：.
(2)设与直线AM平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程与椭圆方程，
可得：，
化简可得：，
所以，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程：，
直线AM方程为：，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：，
由两点之间距离公式可得.
所以△AMN的面积的最大值：.
2、如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程，即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
所以，．
因此，的面积．
因为，所以．
因此，面积的取值范围是．
11. 【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点，
（1）若线段中点的横坐标为3，求的值；
（2）求的取值范围.
【解析】（1）设，，则，由抛物线的定义知.
（2）设，，直线的方程为.
由得
即，.
由，得.
由抛物线的定义知，.
则.
因为，所以.
故的取值范围是.
1. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点．设直线l与抛物线C相切，且．
求直线l的方程；
若P为l上一点，求的最小值．
【答案】解：因为F坐标为，，设直线l的方程为，
联立方程消去y整理得，因为直线l与抛物线C相切，
则，得，故直线l的方程为．设A，B坐标分别为，因为直线AB方程为，
与抛物线方程联立得，
消去y整理得，解得，
得A，B坐标分别为，设P坐标为，
则，
所以，
故最小值为．
【解析】分析：本题主要考查的是直线与抛物线位置关系的应用．先设出l的方程，联立方程利用判别式求解即可；把向量关系坐标化再求解即可．
3.已知离心率为的椭圆C：的一个顶点恰好是抛物线的焦点，过点且斜率为k的直线交椭圆C于A，B两点．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ求k的取值范围；Ⅲ若，A和P关于x轴对称，直线BP交x轴于N，求证：为定值．
【答案】解：Ⅰ设椭圆的半焦距为c，则有，
又可以求得．
于是，椭圆C的方程为．
Ⅱ解：过点且斜率为k的直线的方程为，
由得，
因为直线与椭圆有两个交点，
所以，
解得，
所以k的取值范围是．
Ⅲ证明设，，
则，由题意知，，
由Ⅰ得，，
直线BP的方程为，
令，得N点的横坐标为，
又，，
故．即为定值1．
【解析】本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中的定值问题和圆锥曲线中的最值问题，是较难题．
Ⅰ设椭圆的半焦距为c，由条件得，求解可得椭圆方程；Ⅱ易知直线的方程为，与椭圆联立，由，解出可得k的取值范围．
Ⅲ设，，易得直线BP的方程为，令，得N点的横坐标，可得，化简可得为定值．
【举一反三】（2019·山东高考模拟（理））抛物线：，直线的斜率为2．
（Ⅰ）若与相切，求直线的方程；
（Ⅱ）若与相交于，，线段的中垂线交于，，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（1）设直线的方程为，联立直线抛物线的方程，得，
，所以，，
因此，直线的方程为；
（2）设直线的方程为，设点、、、，
联立直线与抛物线的方程，得，，所以，．
由韦达定理得，．
所以，，
因为线段的中点为，所以，直线的方程为，
由，得，由韦达定理得，，
所以，，
所以，，
所以，的取值范围是．