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扬中树人2020～2021学年第一学期高三年级数学

期末复习专题：解析几何

编制人：郑全红 顾福勇 叶新红 颜俊 王方平   审核人：郑全红

1．“”是“直线：和直线：平行”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】

利用直线平行的条件和充分必要条件的定义判断可得选项.

【详解】

当时，直线：和直线：，此时直线与直线不平行，

当直线：和直线：平行时，，解得（舍去）.

“”是“直线：和直线：平行”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

2．已知F为抛物线y²＝x的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则|AB|＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

作出抛物线的准线，设、在上的射影分别是、，连接、，过作于，由抛物线的定义结合题中的数据，可算出中，，得，即直线的倾斜角为，然后联立直线与抛物线的方程，然后可算出答案.

【详解】

抛物线的准线，设、在上的射影分别是、，

连接、，过作于．

，设，，由点、分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得，．

因此，中，，得，所以直线的倾斜角，

得直线的斜率，

直线的方程：，代入抛物线方程得．

．

，

故选：A

【点睛】

关键点睛：解得本题的关键是画出图形，利用图形的特点求出直线的倾斜角.

3（多选）．已知圆上至多有一点到直线的距离为2，则实数可能的取值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．10

【答案】BC

【分析】

确定圆心不过已知直线，且求得圆心到已知直线的距离为，根据圆上至多有一点到直线的距离为2，得到圆的半径，由此求出的范围后可判断各选项．

【详解】

圆标准方程是，

圆心为，半径为（），

圆心到已知直线的距离为，

圆上至多有一点到直线的距离为2，

则有圆的半径

解得．只有B、C满足．

故选：BC．

【点睛】

方法点睛：本题考查考查直线与圆的关系，解题方法如下：

（1）先求得圆心到直线的距离；

（2）根据题意，确定出圆的半径的取值范围；

（3）解不等式求得结果.

4（多选）．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（    ）

A．当k=4时，曲线C为圆

B．当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为

C．“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件

D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为

【答案】ABC

【分析】

A．将，代入方程中并判断方程对应的曲线的形状；

B．将，代入方程中并判断方程对应的曲线的形状，若曲线为双曲线则分析其渐近线方程；

C．先分析曲线为焦点在轴上的椭圆时对应的的取值范围，再根据区间与所求范围之间的集合关系判断出属于何种条件；

D．根据离心率为分析出双曲线方程中的关系，由此求解出的值并进行判断.

【详解】

对于A选项，当k=4时，曲线C的方程可化为，为圆心在原点，半径为的圆，所以选项A正确；

对于B选项，当k=0时，曲线C的方程可化为，，，

焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为，所以选项B正确；

对于C选项，当曲线C表示焦点在x轴上的椭圆时，要满足，解得，则Ü，

所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件，所以选项C正确；

对于D选项，当曲线C的方程表示离心率为的双曲线时，

有，则a=b，即|k－2|=|6－k|，解得k=4，

此时曲线C表示为圆，即不存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为，所以选项D错误；

故选：ABC.

【点睛】

结论点睛：确定形如的方程所表示曲线的形状：

（1）当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；

（2）当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；

（3）当时，方程表示焦点在轴上的双曲线；

（4）当时，方程表示焦点在轴上的双曲线.

5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，有，椭圆的离心率为；

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知，过点作斜率为的直线与椭圆交于不同两点，线段的中垂线为，记的纵截距为，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由，求得，再根据离心率为，求得，进而求得的值，即可求得椭圆的方程；

（2）设，联立方程组得到，根据判别式求得，再求得，得到，结合函数的单调性，即可求解.

【详解】

（1）由题意知，所以，所以 ， 

又因为椭圆的离心率为，可得，

所以，所以椭圆的标准方程为.

（2）由题意可知直线的斜率存在，设，

联立方程组，整理得，

可得，

又由，解得，故，

设的中点为，则，

所以，即，

化简得，

令，可得，

则，当时，恒成立，

所以在上为单调递增函数，所以，

即求的取值范围.

【点睛】

求解圆锥曲线的最值问题的解答策略：

1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；

2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.

6．椭圆（）的半焦距为c，原点O到经过两点，的直线的距离为．

（Ⅰ）求椭圆E的离心率；

（Ⅱ）如图，AB是圆的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【分析】

（Ⅰ）根据原点到直线的距离，列式，求离心率；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设椭圆方程，根据圆的圆心设直线方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示弦长求.

【详解】

（Ⅰ）过点的直线方程为，

则原点到直线的距离，

由，得，解得离心率.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆的方程为（1） .

依题意，圆心是线段的中点，且.

易知，不与轴垂直.

设其直线方程为，代入（1）得

.

设，则，.

由，得，解得.

从而.

于是.

由，得，解得.

故椭圆的方程为.

【点睛】

关键点点睛：本题第二问，表面是圆与椭圆相交问题，但透过表明，发现本质就是过定点的直线与椭圆相交，已知弦长求参数，这样，问题就转化为比较熟悉的题型.

1．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则（    ）

A． B． C．5 D．

【答案】C

【分析】

首先求抛物线的焦点坐标，由双曲线方程可知，求的值.

【详解】

抛物线的焦点是，

双曲线中，，由题意可知，解得：.

故选：C

2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】

不妨设，由已知和双曲线的定义得出，，，再在和中，利用勾股定理求得和，由此可求得双曲线的离心率得选项．

【详解】

如图，不妨设，则，，，

在中，由勾股定理得，解得．

在中，，，，

∴，∴，∴，

故选：B．

【点睛】

方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．

（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．

3（多选）．已知正方体的棱长为4，点，分别是棱，的中点，点在四边形内，点在线段上，若，则（    ）

A．点的轨迹的长度为 B．线段的轨迹与平面的交线为圆弧

C．长度的最小值为 D．长度的最大值为

【答案】AC

【分析】

取AD中点O，则MO⊥面ABCD，即MO⊥OP，由已知得到OP＝2，可知点P在以O为圆心，以2半径位于平面ABCD内的半圆上，然后逐一分析四个选项得答案．

【详解】

如图，取AD中点O，则MO⊥面ABCD，即MO⊥OP，

∵PM＝2，∴，

所以点P在以O为圆心，以2半径位于平面ABCD内的半圆上．

∴点P的轨迹的长度为，故A正确；

线段MP的轨迹为以MO为轴的半个圆锥侧面，由圆锥曲线的定义可知，

线段MP的轨迹与平面ADC₁B₁的交线为椭圆弧，故B错误；

O到BN的距离减去2即为PQ长度的最小值，

作OH⊥BN于H，BON的面积为：

∴，解得OH＝，

∴PQ长度的最小值为，故C正确；

PQ长度的最大值为DB＝，故D错误．

故选：AC．

【点睛】

关键点睛：运用空间想象能力把空间的问题转化为平面问题、理解椭圆的截面定义是解题的关键.

4（多选）．已知曲线（    ）

A．若，则C是圆

B．若，，则C是圆

C．若，，则C是直线

D．若，，则C是抛物线

【答案】BC

【分析】

根据圆的一般方程对选项一一判断即可.

【详解】

已知曲线.

对于A，当时，，

若，则C是圆；

若，则C是点；

若，则C不存在.故A错误.

对于B，当时，，且，则C是圆，故B正确.

对于C，当时，，且，则C是直线，故C正确.

对于D，当，时，，

若，则表示一元二次方程，

若，则表示抛物线，故D错误.

故选：BC

【点睛】

结论点睛：二元二次方程表示圆的充要条件是，.

5．已知椭圆：()的焦距为，过左顶点且斜率为的直线和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点作两条互相垂直的直线和，分别交椭圆于，两点，问轴上是否存在一定点，使得成立，若存在，则求出该定点，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，定点为.

【分析】

（1）设右焦点，右顶点，求出，根据题中条件，由直线与圆位置关系，列出方程，求出，即可得出椭圆方程；

（2）由（1）可知右顶点，且过点的直线和的斜率存在且不为0，

设直线和的方程分别为和，设，，联立直线与椭圆方程，表示出，两点坐标，设轴上存在一定点，使得成立，根据斜率公式，由韦达定理，列出方程求解，得出，即可得出结果.

【详解】

（1）设右焦点，右顶点，

因为，所以，

因为椭圆的左顶点，

故直线方程为，即，

由题意知，，

解得，，

所以椭圆的方程为.

（2）由（1）可知右顶点，且过点的直线和的斜率存在且不为0，

设直线和的方程分别为和，设，，

联立，得，

因为直线和椭圆交于，两点，

所以，即，

即，，

同理.

设轴上存在一定点，使得成立，

则，即，即，

因为，

，

即，

解得.

因此轴上存在一定点，使得成立.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题的关键在于，根据，得到，得出，坐标之间关系，再由直线与椭圆联立后的结果，结合韦达定理，由斜率之和为，列出方程求解，即可求解.

6．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）和抛物线D：y²＝4x，椭圆C的左，右焦点分别为F₁，F₂，且椭圆C上有一点P满足|PF₁|︰|F₁F₂|︰|PF₂|＝3︰4︰5，抛物线D的焦点为F₂．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过F₂作两条互相垂直的直线l₁和l₂，其中直线l₁交椭圆C于A，B两点，直线l₂交抛物线D于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．

21．解：（1）f'（x）＝3x²＋2bx＋c，由题意可知，f'（x）＝3x²＋2bx＋c＝0有两个不同的根x₁、x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[0，1]，

则，解得：-3≤c≤0，

即c的范围为[-3，0]．

（2）由题意可知，，所以，

所以，

，令，求导可得：，

可知g（x）在[0，1]上单调递减，则，

即，又由-3≤c≤0，所以-1≤f（x₂）≤1得证．

22．解：（1）由题意可知，抛物线D：y²＝4x的焦点为（1，0），所以椭圆C的半焦距c＝1，

又椭圆C有一点P满足|PF₁|︰|F₁F₂|︰|PF₂|＝3︰4︰5，

所以椭圆C的离心率，所以a＝2，，

则求得椭圆C的方程是．

（2）当直线AB的斜率不存在时，直线PQ即为x轴，与抛物线只有一个交点，不满足条件；

当直线AB的斜率为0时，A，B为椭圆长轴两端点，直线PQ⊥x轴，|PQ|＝4，

四边形APBQ的面积S＝4×2＝8；

当直线AB的斜率k≠0时，设直线AB的方程为y＝k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

联立直线AB与椭圆C：，

消去y可得：（3＋4k²）x²-8k²x＋4k²-12＝0，

则，．

则弦长

，

设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），联立直线PQ与抛物线D：，

消去y可得：x²-（4k²＋2）x＋1＝0，则x₃＋x₄＝4k²＋2，

由抛物线的定义，弦长|PQ|＝x₃＋x₄＋2＝4k²＋2＋2＝4（k²＋1），

由于AB⊥PQ，则四边形APBQ的面积，

令3＋4k²＝t＞3，则，