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扬中树人2020～2021学年第一学期高三年级数学

期末复习专题：不等式

编制人：郑全红 顾福勇 叶新红 颜俊 王方平   审核人：郑全红

一、单选题

1.已知实数，，满足，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【来源】理科数学-全国名校2020年高三6月大联考（新课标Ⅰ卷）

【答案】A

【分析】

易得，，进而由指数函数的性质得到，根据时，，可得，从而作出判定.

【详解】

，

∴，

，

时，，∴ ,即,

，

故选：A.

【点睛】

本题考查比较大小，涉及不等式的基本性质，对数指数的运算及函数性质，正弦函数的性质，其中用到时，的结论，属中档题.

2.已知、，，则当取最小值时，的值为(    )

A． B． C． D．

【来源】专题13 基本不等式-2020年高考数学母题题源解密（天津专版）

【答案】C

【分析】

由得出，进而可得出，利用基本不等式求出的值，利用等号成立的条件求得，进而可得出的值.

【详解】

由得，，

，等号成立时，即，

此时.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用基本不等式求最值，同时要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于中等题.

3.在中，点为中点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（    ）

A． B．2 C．3 D．

【来源】2020届四川省遂宁市高三二诊数学（理）试题

【答案】B

【分析】

由，，三点共线，可得，转化，利用均值不等式，即得解.

【详解】

因为点为中点，所以，

又因为，，

所以．

因为，，三点共线，

所以，

所以，

当且仅当即时等号成立，

所以的最小值为2．

故选：B

【点睛】

本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

4.若，则的最小值为（    ）

A．6 B． C． D．

【来源】西藏拉萨中学2020届高三（下）第七次月考数学（文科）试题

【答案】C

【分析】

由，得，且，又由，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.

【详解】

因为，即，

所以，，等式两边同时除以得，且，

所以，

当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.

二、多选题

1.若，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B）试题

【答案】ABC

【分析】

由且，利用基本不等式，对选项中的不等式逐一验证即可.

【详解】

由，故D错误；

,故A正确；
又前面可知，故B正确；

由，故C正确，

故选ABC.

【点睛】

本题主要基本不等式应用，属于基础题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

2.若命题“，”是假命题，则的值可能为（    ）

A． B．1 C．4 D．7

【来源】河北省张家口市2021届高三上学期12月阶段测试数学试题

【答案】BC

【分析】

首先写出特称命题的否定，根据命题“，”是真命题，根据恒成立，讨论的取值，求参数的取值.

【详解】

由题可知，命题“，”是真命题，

当时，或.

若，则原不等式为，恒成立，符合题意；

若，则原不等式为，不恒成立，不符合题意.

当时，依题意得.

即解得.

综上所述，实数的取值范围为.

故选:BC.

【点睛】

本题考查存在量词命题否定的应用，重点考查分类讨论的思想，运算求解能力，属于基础题型

3.下列命题中是假命题的有(    )

A．函数的最小值为2

B．“，”是真命题

C．不等式对任意恒成立，则实数a的范围是

D．若空间向量满足：，且P，A，B，C四点共面，则

【来源】江苏省苏州市实验中学2019-2020学年高二上学期阶段性调研（二）数学试题

【答案】ACD

【分析】

对于A,当时,可知;对于B,当,可知成立;对于C,讨论和两种情况;对于D,根据四点共面的充要条件即可判断真假.

【详解】

对于A,当时,可知,所以为假命题;

对于B,当,可知成立,所以为真命题;

对于C,讨论时,成立和时, 对任意恒成立，即为,解得综上,,所以为假命题;

对于D,根据四点共面的充要条件可知应满足不共线,所以为假命题.

故选:ACD.

【点睛】

本题考查命题真假的判断,考查了不等式成立问题,考查了空间中四点共面的条件,难度较易.

三、填空题

1.的内角，，的对边分别为，，.若，，且，则______；若的面积为，则的周长的最小值为______.

【来源】重庆市部分区2019-2020学年高一下学期期末联考数学试题

【答案】        

【分析】

（1）根据向量数量积的坐标公式和正弦定理得到，再根据余弦定理求角的值；（2）首先根据面积公式得到，再根据余弦定理和基本不等式求周长的最小值.

【详解】

（1）由条件可知，

根据正弦定理边角互化转化为，

即，

，

因为，所以；

（2），解得：，

，即 

当时，等号成立，

，当时等号成立，

所以，当时，时取得最小值.

故答案为：；

【点睛】

本题考查正余弦定理解三角形，基本不等式求最值，重点考查转化与变形，计算能力，属于中档题型.

2.已知首项与公比相等的等比数列中，若，满足，则的最小值为______，等号成立时满足的等量关系是______．

【来源】2020届山东省济宁市高三5月（二模）模拟数学试题

【答案】1        

【分析】

由推出，然后利用基本不等式求出的最小值即可.

【详解】

因为等比数列的首项与公比相等，

所以，所以

所以

因为

所以，当且仅当，即时等号成立

故答案为：1，

【点睛】

本题考查的是等比数列和利用基本不等式求最值，属于典型题.

3.若正实数、满足，则的最小值为_________；的最小值为_________．

【来源】专题2.3《等式与不等式》单元测试卷（A卷基础篇）-2020-2021学年高一数学必修第一册同步单元AB卷（新教材人教B版）

【答案】        

【分析】

由已知条件得出，利用基本不等式可求得的最小值，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】

正实数、满足，，

由基本不等式得，可得，当且仅当时，等号成立，即的最小值为.

由基本不等式得，

当且仅当时，等号成立，即的最小值为.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查利用基本不等式求最值，涉及的妙用，考查计算能力，属于中等题.

四、解答题

1.已知函数，.

（1）若，试求函数在区间上的最小值；

（2）对于任意的，不等式成立，试求的取值范围.

【来源】辽宁省大石桥市第三高级中学2020-2021学年第一学期第2次月考高一数学试题

【答案】（1）6；（2）.

【分析】

（1）对函数进行分离，利用基本不等式求出最小值即可；

（2）设，在恒成立，则，列不等式解出的取值范围即可．

【详解】

（1）依题意得

∵，∴，

∴，当且仅当时，等号成立.

所以，，即函数在区间上的最小值为6.

（2）因为，所以要使得“，不等式成立”

只要“在上恒成立”.不妨设，则只要

在恒成立，所以，即解得

所以的取值范围是.

【点睛】

易错点睛：本题考查基本不等式求最值，考查一元二次不等式的恒成立问题，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

2.已知函数．

（1）关于x的方程有解，求实数a的取值范围；

（2）求函数在区间的最小值．

【来源】安徽省蚌埠市第一中学2020-2021学年高三上学期期中文科数学试题

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）关于x的二次方程有解，则，解不等式可得实数a的取值范围；

（2）函数对称轴为，开口向上，按，和分别写出函数的单调性，进而得出最小值．

【详解】

（1）由，则，

由关于x的方程有解，则有解，

所以或，

则．

（2）由题可知：，，对称轴为，开口向上，

当时，函数在单调递增，所以

当时，函数在单调递减，在单调递增，所以；

当时，函数在单调递减，所以；

则函数在区间的最小值为．

【点睛】

方法点睛：本题考查函数有解问题，考查二次函数最值的求法，考查分类讨论思想，有关恒成立有解问题的一般思路有：

1.函数性质法，对于一次函数，只须两端满足条件即可；对于二次函数，就要考虑参数和的取值范围；

2.分离变量法，将参数移到不等式的一侧，将自变量都移到不等式的另一侧；

3.变换主元法，题目中已经告诉了参数的取值范围，要求自变量的取值范围，把自变量看作“参数”，把参数看作“自变量”，然后再利用函数的性质法求解；

4.数形结合法，对于有根号的函数，或者指对幂函数相结合的不等式，求函数恒成立问题可以转化为求“谁的函数图像一直在上面”．

3.已知函数.

（1）若时，对任意的都成立，求实数的取值范围；

（2）求关于的不等式的解集.

【来源】山西省山西大学附属中学2020-2021学年高二上学期10月模块诊断数学试题

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】

（1）分、、三种情况，结合题意得出关于的等式，进而可求得实数的取值范围；

（2）将所求不等式化简变形为，分分类讨论，结合二次不等式的解法可得出所求不等式的解集.

【详解】

（1）对任意的都成立，

当时，恒成立；

当，，解得，原不等式恒成立；

当时，原不等式不恒成立.

综上可得的范围是；

（2）关于的不等式，即为，

化为，

当时，可得，解得，解集为；

当，即，可得，则解集为；

当时，①若时，可得，解集为；

②若，即，可得，则解集为{或}

③若，则，可得，则解集为{或}

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为{或}；

当时，原不等式的解集为{或}

.

【点睛】

本题考查利用二次不等式恒成立求参数，同时也考查了含参二次不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.