泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用

泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个次多项式,去逼近一个已知的函数，而且这种逼近有很好的性质：与在点具有相同的直到阶的导数.所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法.       

泰勒公式知识：设函数在点处的某邻域内具有阶导数，则对该邻域内异于的任意点，在与之间至少存在一点，使得：

=++++ +，

其中称为余项，上式称为阶泰勒公式；

若0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，

即= +++++.

利用泰勒公式证明不等式：若函数在含有的某区间有定义,并且有直到阶的各阶导数,又在点处有阶的导数,则有公式

在上述公式中若(或),则可得

或

1、 证明:

证明  设     则在处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式    

由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点在处展开,然后判断余项的正负,从而证明不等式.

对于欲证不等式中含有初等函数、三角函数、超越函数与幂函数结合的证明问题，要充分利用泰勒公式在时的麦克劳林展开式，选取适当的基本函数麦克劳林的的展开式，对题目进行分析、取材、构造利用.

2、 证明不等式：≤.