1、 证明不等式：≤.

2、不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数，两边无明显的大小关系 。这时我们可用在的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者的大小关系。 证明  ,,,,,,,     当时，的泰勒展式为：  ≥0  (≥0, ≤,0＜＜1)所以≥0,，有 ≤.

在含有无理函数与幂函数结合的不等式证明问题中，它们之间没有明显的大小关系。如果用常规方法（放缩法、比较法，代换法等），我们很难比较它们之间的大小关系，但这时用泰勒公式却能轻易解答.

2、 证明不等式：＜，（＞0）.

对于此题，若我们对不等式两边同时平方，虽可以去掉根号，但的次数却提高了次，这还是难以比较他们之间的大小关系，但若用泰勒公式却可以轻易解答.

证明  设，则,,,

,,

代入=0的二阶泰勒公式，有=1+- +    (0＜＜1)

∵  ＞0,  ∴  ＞0     所以  ＜（x＞0）.

在不等式的证明问题中，若题目中出现了一阶导数、二阶导数、初等函数、三角函数或超越函数等与幂函数结合时，可优先考虑泰勒公式在=0时的麦克劳林表达式。当然能做好此类题的前提条件是要对一些基本函数的麦克劳林表达式熟悉.

微分中值定理: 若满足以下条件:

(1) 在闭区间内连续     (2) 在开区间上可导

则  

3、 若

分析  因为则原不等式等价于 .令,则我们容易联想到中值定理.

证明  设,显然满足中值定理的条件

则   即

5、已知函数，    ；

(2)

,因为

所以。故得证   （也可用中值定理来证）

6、已知函数

解：  

评注：本题得到不等式与不等式

构成经典不等式，即.

7、已知

解析：

   由经典不等式

及

因此

故

又

综上所述，得

(1)略（2）

所以

9、求证：要证明原不等式，就要证明   即

构造函数

则有。故有

。

10、.         ;

解：

易得

（2）

故

所以