圆锥曲线的方程
一、多选题
1．（2021·福建宁德市·高二期末）已知椭圆
的左、右两个焦点分别为、，直线与交于、两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则的面积为
B．四边形可能为矩形
C．直线的斜率为
D．若与、两点不重合，则直线和斜率之积为
【答案】BC
【分析】
利用余弦定理、椭圆的定义以及三角形的面积公式可判断A选项的正误；根据四边形可能为矩形求出点的横坐标，可判断B选项的正误；利用斜率公式可判断C选项的正误；利用点差法可判断D选项的正误.
【详解】
在椭圆中，，，，设点、，则，如下图所示：
对于A选项，由椭圆的定义可得，
在中，由余弦定理可得，可得，
因此，的面积为，A选项错误；
对于B选项，由于直线与椭圆都关于原点对称，则点、也关于原点对称，
又、关于原点对称，所以，四边形为平行四边形，
若四边形为矩形，则，而，，
，
解得，B选项正确；
对于C选项，，可知点，则，C选项正确；
对于D选项，由于点、在椭圆上，则，
上述两个等式相减得，可得，
直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，，D选项错误.
故选：BC.
【点睛】
结论点睛：有关点差法的结论如下：
①设是椭圆的任意一条不与坐标轴垂直的弦，点为弦的中点，则直线和直线（其中为坐标原点）的斜率之积；
②设是椭圆的任意一条过原点的弦，点是该椭圆上与点、不关于坐标轴对称的一点，则直线和的斜率之积为.
2．（2021·江苏常州市·高二期末）离心率为(即黄金分割比的倒数)的双曲线称为黄金双曲线.已知黄金双曲线)的左右焦点分别为，，实轴端点分别为，(其中在左侧)，虚轴端点分别为，，过作x轴的垂线与双曲线交于P，Q两点，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．为锐角三角形 D．是，的等比中项
【答案】ABD
【分析】
根据离心率，得到，，将代入双曲线方程，根据题中条件，求出，可判断AB正确；再由计算，可判断C错；计算，可判断D正确.
【详解】
因为离心率为，则，
所以，
则，
其左右焦点分别为，；
令代入可得，
因为过作x轴的垂线与双曲线交于P，Q两点，
则，所以，，即AB正确；
又实轴端点分别为，；虚轴端点分别为，，不妨记，，则，，
所以，
则，即为直角三角形，故C错；
又，，，
所以，
即是，的等比中项，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于根据离心率用表示出双曲线的方程，得到焦点坐标、实轴端点和虚轴端点坐标，即可结合双曲线的性质求解；解决此类题目要求学生要有较强的计算能力.（求解时，也可用特殊值法，直接令或其它常数，进行求解.）
3．（2021·江苏常州市·高二期末）2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆(如图所示).已知它的近月点A(离月球表面最近的点)距离月球表面m千米，远月点B(离月球表面最远的点)距离月球表面n千米，为椭圆的长轴，月球的半径为R千米.设该椭圆的长轴长，焦距分别为，，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
根据图形椭圆长轴长为，利用椭圆几何性质及图形再写出即可求解.
【详解】
由题意可知，
所以，
因为，，
所以
故选：BC
二、单选题
4．（2021·福建宁德市·高二期末）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，若过点P所作的圆的两条切线互相垂直，则，则只需在双曲线上存在一点到坐标原点额距离为，设点，则利用有解求出离心率的取值范围.
【详解】
如图所示，
设点为双曲线上一点，过点作圆的两条切线与，切点分别为与，连接，若两条切线互相垂直，则，
设点，则有解，整理得有解，即，又，所以，又，故，解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的取值范围求解，求解离心率的的值及取值范围的关键在于画出图形，根据图形找到各边的数量关系，通过数量关系列出的齐次式求解.
5．（2021·福建宁德市·高二期末）已知抛物线的焦点为F，过F点倾斜角为的直线l与C交于A，B两点（A在B的右侧），则（ ）
A．9 B． C． D．3
【答案】D
【分析】
利用点斜式设出直线方程，代入抛物线方程，求出A，B两点的纵坐标，利用抛物线的定义，即可求得结果.
【详解】
抛物线的焦点为，故直线方程为：，
设,，由题知
联立，得，解得：
利用抛物线定义知
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题考查抛物线的定义，标准方程及简单的几何性质，利用抛物线定义得到是解题的关键，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于一般题.
6．（2021·北京高三期末）已知双曲线（，）的左焦点为，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先利用，求点的坐标，再利用与渐近线垂直，构造关于的齐次方程，求离心率.
【详解】
由条件可知，，由对称性可设条件中的渐近线方程是，线段的中垂线方程是，与渐近线方程联立方程，解得，，即，
因为与渐近线垂直，则，
化简为，
即，即，两边同时除以，
得，解得：（舍）或.
故选：B
【点睛】
方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.